蒙特卡洛方法求积分以及部分所需的概率论术语可以在PBRT以及概率论与数理统计中找到

PBRT中给出了蒙特卡洛估计量，其中随机变量$X_i \in [a,b]$且独立同分布，分布满足概率密度函数 $p(x)$。

$F_N = \frac{1}{N}\sum^{N}_{i=1}\frac{f(X_i)}{p(X_i)}$

其期望为

$\begin{array}{l}$
E[F_N] & = E[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\frac{f(X_i)}{p(X_i)}] \\
& = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\int_{a}^{b}\frac{f(x)}{p(x)}p(x)dx \\
& = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\int_{a}^{b}f(x)dx \\
& = \int_{a}^{b}f(x)dx \\
\end{array}

方差为

$\sigma^2=\frac{1}{N}\int(\frac{f(x)}{p(x)}-I)^2p(x)dx$

结果的误差与标准差成正比，因此随着样本数增加误差缩小速度仅与$\sqrt{N}$相关(即常说的增加4倍采样数目才能缩小一半的误差)

PBRT以及许多其他文章书籍等直接给出了这个估计量的期望计算（其中第二步到第三步并未直接说明来由，尽管PBRT在对期望的简介中已给出式子），这一步只能证明估计量本身无偏*。

以下将给出证明

引用一个知识点: Law of the unconscious statistician，简称LOTUS。用法是已知随机变量X的分布$f_X$，但并不知道函数g(X)的分布$f_{g(X)}$。那么此时函数$g(X)$的期望为

$E[g(X)]=\sum_x g(x)f_X(x)$(X为离散型随机变量)

$E[g(X)]=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)f_X(x)dx$(X为连续型随机变量)

此处细节介绍也可以看Wyman的技术博客，其中就提到了许多地方都没有涉及到的LOTUS。

$\begin{array}{l}$
E[ \frac {f(X_{i})}{pdf(X_{i})} ] & = E[ \frac {f(x)}{pdf(x)} ] \\
& = \int _{a}^{b}\frac {f(x)}{pdf(x)}pdf(x)dx \\
& = \int _{a}^{b}f(x)dx
\end{array}

这里积分区间变为$[-\infty, \infty]$也是如此。以下将会使用到大数定律的知识背景。

引用自维基百科：设 $a_{1},a_{2},…,a_{n},…$为相互独立的随机变量，其数学期望为： $E(a_{i})=\mu (i=1,2,…)$，方差为： $Var(a_{i})=\sigma ^{2}(i=1,2,…)$
则序列$\overline{a} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}$，$a_{i}$ 依概率收敛于 $\mu$（即收敛于此数列的数学期望 $E(a_{i})$）。

取一组独立同分布的随机变量$\{\xi\}$，且$\xi$在$[a,b]$内满足分布律$p(x)$，则令$p^$(x)=\frac{f(x)}{p(x)}，**则$\{ p^(\xi_i) \}$也是一组独立同分布的随机变量。**，那么计算其得到的期望其实就是积分本身(见下)。

由大数定理

$Pr(\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}p^*(\xi_i)=I)=1$

那么这里已经有随机变量$\{ p^$(\xi_i) \}存在，且期望等于积分值，**那么根据大数定理可知，这里的$\{ p^(\xi_i) \}$就是会依概率收敛于积分值。**证毕。